Brüche und Dezimalbrüche addieren und subtrahieren

Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen geht ganz einfach: Man kann nur Brüche addieren und subtrahieren, die den gleichen Nenner haben. Wenn das der Fall ist, muss man nur die Zähler addieren oder subtrahieren und lässt den Nenner unverändert.

Beispiele:

$$ {{3 \over 7} + {5 \over 7 }} = {{3+5} \over 7} = {8 \over 7} $$

$$ {{5 \over 9} - {1 \over 9 }} = {{5-1} \over 9} = {4 \over 9} $$



Wie kann man sich das vorstellen? Wenn man sich eine Torte vorstellt, die man in 7 Teile geschnitten hat, so ist jedes Stück ein Siebtel. Wenn ich nun mehrere dieser Stücke nehme (zusammezähle), so bleiben dies immer Siebtel. Wenn ich 3 Siebtelstücke nehme und noch 5 Siebtelstücke dazutue, bleiben dies 3+5 Siebtelstücke. Ich habe also 8 Siebtel, was genauso viel ist wie 1 ganze Torte und 1 Siebtel.

Was tun, wenn die Brüche nicht den selben Nenner haben?
Wenn die Brüche ungleichnamig sind, also unterschiedliche Nenner haben, so müssen die Brüche durch Kürzen und Erweitern zuerst gleichnamig gemacht werden.

Beispiel:

$$ {{3 \over 7} + {5 \over 8 }} = {{3 \cdot 8} \over {7 \cdot 8}} + {{5 \cdot 7} \over {8 \cdot 7}} = {{24 + 35} \over {56}} = {59 \over 56} $$

Das geht immer, der Hauptnenner ist höchstens so groß wie das Produkt der beiden Nenner. Nachdem man die beiden Summanden gleichnamig gemacht hat, kann man sie einfach addieren, indem man ihre Zähler addiert.

Dezimalbrüche addieren
Bei Kommazahlen (also Dezimalbrüchen) geht das eigentlich genauso wie bei anderen Brüchen. Man muss sie zuerst gleichnamig machen, also den Nenner so verändern, dass alle Summanden den gleichen Nenner haben. Bei Dezimalbrüchen steckt der Nenner in der Anzahl der Nachkommestellen. Hat ein Dezimalbruch eine Nachkommastelle, so ist der Wert des Dezimalbruchs als Zehntel (im Zähler steht die Kommazahl ohne das Komma), bei drei Stellen sind es Tausender usw. Um die Dezimalbrüche gleichnamig zu machen kann man einfach hinter dem Komma hinter der letzten Ziffer beliebig viele Nullen anhängen. Das verändert den Wert der Kommazahl nicht, hat aber den Vorteil, dass beide Kommazahlen gleich viele Nachkommastellen haben, also gleichnamig sind. Man nimmt natürlich die Anzahl Nachkommastellen, die die größte unter den Summanden hat. Haben nun alle Summanden gleich viele Nachkommastellen, so addiert man sie wie ganze Zahlen. Man schreibt sie stellengerecht untereinander und addiert sie schriftlich. Man muss nun nur noch darauf achten, das Komma beim Ergebnis (der Summe) an dieselbe Stelle wie bei den Summanden zu schreiben. Die Summe muss also genauso viele Nachkommastellen haben wie die Summanden.

Beispiel: