Dezimalbrüche multiplizieren und dividieren

Da Dezimalbrüche ja auch nur Brüche sind, die besondere Nenner haben, sollten wir uns zunächst an allgemeinen Brüchen deutlich machen, was die Multiplikation von Brüchen eigentlich bedeutet. Danach wird der Spezialfall der Dezimalbrüche behandelt. Das Ergebnis wird sein, dass wir Kommazahlen (Dezimalbrüche) multiplizieren können. Im zweiten Teil dieses Kapitels wird dann die Division von Brüchen oder mit Brüchen behandelt.

Brüche multiplizieren
Um es gleich vorweg zu sagen: Man multipliziert Brüche miteinander, indem man die Zähler multipliziert und die Nenner multipliziert.

$$ {{a \over b} \cdot {c \over d}} = {{a \cdot c} \over {b \cdot d }} $$

Beispiele:

$$ {{3 \over 7} \cdot {8 \over 9}} = {{3 \cdot 8} \over {7 \cdot 9}} = {24 \over 63} = {8 \over 21} $$

$$ {{5 \over 13} \cdot {17 \over 3}} = {{5 \cdot 17} \over {13 \cdot 3}} = {85 \over 39} $$

Warum ist das so?
Man kann sich das vorstellen, wenn man sich klar macht, was die Multiplikation mit einem Bruch bedeutet. Wenn ich sage, "Fritz hat $$ 1 \over 3$$ meiner 9 Gummibärchen geklaut", kann ich das berechnen, indem ich das "von" durch ein "mal" ersetze: $$ {1 \over 3} $$ von $$ 9 = {9 \cdot {1 \over 3}} = {9 \over 3} = 3 $$.

Ein Bruchteil von etwas bedeutet also, dieses "etwas" mit dem Bruch zu multiplizieren. Das wenden wir jetzt auf Brüche an:

Wir sagen nun: "Wieviel ist $$2 \over 3$$ von $$ 4 \over 7$$?

Dazu machen wir uns das Beispiel an einem Rechteck mit 3 Einheiten Höhe und 7 Einheiten Breite deutlich:

Hier sind 2 der 3 Zeilen rot schraffiert und 4 der 7 Spalten grün. $$ 4 \over 7 $$ des gesamten Rechtecks ist also grün schraffiert. Von diesem Anteil nehmen wir $$ 2 \over 3 $$. Das sind 2 der 3 Zeilen. $$2 \over 3$$ von $$ 4 \over 7$$ des rechtecks ist also der Bereich, der grün und rot schraffiert ist. Das sind 2 $$\cdot$$ 4 von den gesamten 3 $$\cdot$$ 7 Kästchen, also $${{2 \cdot 4} \over {3 \cdot 7}} = { 8 \over 21}$$ des gesamten Rechtecks. Wir haben also im Beispiel herausbekommen: $${{2 \over 3} \cdot {4 \over 7} } = {{2 \cdot 4} \over {3 \cdot 7}} = { 8 \over 21}$$

Erklärvideo: Brüche multiplizieren

Dezimalbrüche multiplizieren
Dezimalbrüche, also Kommazahlen werden zunächst genauso multipliziert, wie ganze Zahlen. Das einzige Problem ist, wo das Komma beim Ergebnis hingehört. Hier gilt die Regel: Das Produkt (also das Ergebnis der Multiplikation) hat soviele Nachkommastellen, wie die beiden Faktoren zusammen. Haben die beiden Faktoren also beispielsweise 2 und 3 Nachkommastellen (z.B. 1,23 und 3,723), dann hat das Produkt 5 Nachkommastellen. 1,23 $$ \cdot $$ 3,723 = 4,57929.

Warum ist das so?

Hat eine Zahl 2 Nachkommastellen, so steht die letzte Stelle für Hunderstel. Der andere Faktor hat 3 Nachkommastellen, so dass seine letzte Stelle für Tausendstel steht. Multipliziert man nun beide Brüche, so muss man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner multiplizieren. Die Multiplikation der Zähler entspricht also der normalen Multiplikation ganzer Zahlen. Bei der Multiplikation der Nenner muss man also 100 und 1000 multiplizieren. Das Produkt 100000 hat genau so viele Nullen wie die beiden Nenner vorher zusammen hatten. Das Ergebnis muss also ab der 5. Nachkommastelle geschrieben werden.

$$ { 1,23 \cdot 3,723} = {123 \over 100} \cdot {3723 \over 1000} = {{123 \cdot 3723} \over {100 \cdot 1000}} = {457929 \over 100000} = 4,57929 $$

Erklärvideo: Kommazahlen multiplizieren

Division durch einen Bruch
Merkspruch: "Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert."

Um die Geschwindigkeit eines Autos zu berechnen, muss ich die gefahrene Strecke durch die vergangene Zeit teilen. Fahre ich nun 1500 m, also $$ 3 \over 2 $$ km in 43 Minuten, also $$ 43 \over 60$$ Stunden, so muss ich rechnen:

Geschwindigkeit = $$ {3 \over 2} : {43 \over 60} $$.

Diesen Quotienten berechnet man, indem man vom Bruch $$43 \over 60 $$ den Kehrwert bildet und diesen mit dem Dividenden multipliziert. Der Kehrwert ist der Bruch, bei dem Zähler und Nenner einfach nur vertauscht sind. Der Kehrwert von $$ 43 \over 60 $$ ist also $$ 60 \over 43 $$.

Wir berechnen also:

Geschwindigkeit = $$ {3 \over 2 } : {43 \over 60} = {3 \over 2} \cdot {60 \over 43} = {{3 \cdot 60} \over {2 \cdot 43}} = {180 \over 86} = {90 \over 43} = 2,093... { km \over h} $$

Den letzten Dezimalbruch haben wir durch schriftliche Division berechnet.

Wird eine ganze Zahl durch einen Bruch geteilt, so muss man sie nur mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren. Beispiel: $$ {13 \div {5 \over 7}} = {13 \cdot {7 \over 5}} = {{13 \cdot 7} \over 5} = {91 \over 5} = 18 {1 \over 5} $$

Erklärvideo: durch Brüche dividieren

Dezimalbrüche durch ganze Zahlen dividieren
Einen Dezimalbruch teilt man genauso wie eine ganze Zahl. Bei der schriftlichen Division muss nur beachtet werden, dass man beim Ergebnis ein Komma setzt, sobal man beim Divdenden das Komma überschreitet. Hinter dem Komma kann man beliebig viele Nullen "herunter holen".



Division zweier Dezimalbrüche
Genau so, als ob man einen Bruch vorliegen hat, kann man zwei Dezimalbrüche so oft mit 10 erweitern, dass beide zu ganzen Zahlen geworden sind. Man muss nur Dividend und Divisor gleich oft mit 10 multiplizieren. Will man z.B. 10,78 : 1,456 berechnen, so multipliziert man beide Zahlen 3 mal mit 10 (also insgesamt mit 1000). Wir erhalten dann 10780 : 1456. Das Ergebnis ist gleich:

10,78 : 1,456 = 10780 : 1456 = 7,403846...

Division eines Bruches durch einen Bruch
Wie bereits oben beschrieben, teilt man durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dies wendet man auch hier an. Die Multiplikation von Brüchen ist ja bereits beschrieben worden.

$$ {34 \over 13} \div {13 \over 5} ={34 \over 13} \cdot {5 \over 13} = {{34 \cdot 5} \over {13 \cdot 13}} = {170 \over 169} $$