Körper

Uns interessieren bei Körpern besonders die  Oberfläche  und das  Volumen  (Rauminhalt).

Oberfläche von Quadern und Würfeln
Um die Oberfläche eines Quaders oder eines Würfeln zu bestimmen, benötigt man das  Netz  dieses Körpers. Wie bereits in der fünften Klasse behandelt, ist das Netz diejenige Fläche die sich ergibt, wenn man den Körper "auseinander klappt".

Beispiel:

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Die Oberfläche dieses Quaders ergibt sich nun, indem man den Flächeninhalt aller sechs Flächen zusammenzählt. Dabei kommt bei einem Quader eine Seite immer doppelt vor. Es gibt also nur drei verschiedene Flächen A, B und C. Hat der Quader die Kantenlängen a, b, und c, so ergeben sich die Flächeninhalte folgendermaßen:

AA=a $$ \cdot $$ b (unten und oben)

AB=a $$ \cdot $$ c (vorne und hinten)

AC=b $$ \cdot $$ c (rechts und links)

Die Oberfläche des Quaders ergibt sich also, indem man die Flächeninhalte AA, AB und AC jeweils doppelt nehmen und zusammen zählen. Wir nennen die Oberfläche eines Körpers O.

O = 2 $$ \cdot $$AA + 2 $$ \cdot $$AB + 2 $$ \cdot $$AC oder auch:

Oberfläche eines Quaders:
$$ O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

Da ein Würfel nun nichts anderes ist, als ein Quader mit sechs gleich großen Seiten, ist die Berechnung der Oberfläche eines Würfels noch viel einfacher. Man hat nur eine Seite, deren Flächeninhalt auf allen sechs Seiten des Würfels zu sehen ist. Die Oberfläche des Würfels ist also sechs mal der Flächeninhalt dieser Fläche. Die Fläche ist wiederum einfach zu berechnen, weil sie zwei gleich lange Kanten hat. Hat der Würfel die Kantenlänge a, so ist der Flächeninhalt jeder Seite $$A = a \cdot a $$. Die Oberfläche ist nun einfach das Sechsfache davon:

Oberfläche eines Würfels
$$ O = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot a ^ 2 $$

Volumen von Quadern und Würfeln
Dieser Würfel besteht offensichtlich aus zwei Ebenen, die jeweils aus zwei Reihen zu je zwei kleinen Würfeln bestehen. Der gesamte Würfel besteht also aus $$ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$ kleinen Würfeln.

Wenn die kleinen Würfel jeweils eine Kantenlänge von 1 cm haben, so sagt man, das das Volumen (oder der Rauminhalt) eines kleinen Würfels 1 Kubikzentimeter oder geschreiben 1 cm³ beträgt. Die Einheit des Volumens ist also 1 cm³. Das Volumen des ganzen Würfels beträgt 8 cm³.

Das Volumen von Würfeln und Quader bestimmt man, indem man die Länge mal die Breite mal die Höhe des Quaders rechnet. Wenn nun ein Quader zum Beispiel 3 cm hoch, 5 cm breit und 4 cm lang ist, so kann man 4 cm-Würfel der Länge nach und 5 cm-Würfel der Breite nach hineinlegen. So hat man jeweils eine Ebene ausgelegt. Nun kann man 3 solcher Ebenen übereinander legen und füllt damit den Quader genau aus.

Das Volumen dieses Quaders beträgt also:

$$ V = {3 cm \cdot 5 cm \cdot 4 cm }= {3 \cdot 4 \cdot 5} cm ^3 = 60 cm ^3$$

allgemein:

Volumen von Quadern
$$ V = a \cdot b \cdot c $$

Volumen von Würfeln
$$ V = a \cdot a \cdot a = a ^3 $$