Flächen und Flächeninhalt

=Grundlagen, auf die dieses Kapitel besonders aufbaut=

Längen messen

Längenmaße umwandeln

Maßstab

=Welche Fläche ist größer? Vergleich von Flächen=

Einfache Beispiele


Im Beispiel ist sofort zu erkennen, dass links das Dreieck kleiner als das Rechteck ist und dass rechts das Rechteck A kleiner als das Rechteck B ist. Links ist das klar, weil das Dreieck komplett innerhalb des Rechtecks liegt. Rechts ist das klar, weil die Rechtecke gleich hoch sind, Rechteck B aber viel breiter ist. Schwieriger wird der Fall schon, wenn ein Rechteck zwar schmaler, dafür aber höher ist als ein anderes. Welches ist dann größer?



Kästchen zählen
Die Lösung des Problems kann darin liegen, dass man die Kästchen zählt, die jeweils innerhalb eines Rechtecks liegen. Im Rechteck A liegen 56 Kästchen, im Rechteck B nur 54. Damit ist A 56 Kästchen groß und B 54 Kästchen groß. Rechteck A ist also größer als Rechteck B. Um das so zu machen, müssen aber alle Kästchen gleich groß sein. Falls sie nicht auf einem Blatt sind und vielleicht sogar an ganz verschiedenen Orten der Welt, muss das Kästchen festgelegt sein.

Man kann auch andere Formen wählen, die man in beiden Flächen wiederfinden kann. Wenn man eine Fläche zerschneidet und mit den Teilflächen eine andere Fläche genau auslegen kann, snd beide gleich groß. Bleiben Teilflächen der ersten Fläche übrig, ist die erste größer, bleibt in der zweiten Fläche ein Teil unbelegt, ist die zweite Fläche größer.

Begriff: Flächeninhalt
Der Flächeninhalt gibt an, wie groß eine Fläche ist. Zwei Flächen sind gleich groß, wenn man die eine Fläche genau mit den Teilstücken der anderen Fläche auslegen kann. Man sagt: "Sie haben den gleichen Flächeninhalt". Bleibt beim Auslegen einer Fläche A mit Teilflächen einer anderen Fläche B etwas über, so ist die Fläche A größer. Man sagt: "Fläche A hat einen größeren Flächeninhalt als Fläche B".

=Wie gibt man die Größe von Flächen an? Flächeneinheiten=

Ein Flächenquadrat
Wir messen unsere Längen in Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Dezimeter (m), Meter (m) oder auch in Kilometer (km). Hat ein Quadrat eine Seitenlänge von 1 cm, so sagt man: "Der Flächeninhalt beträgt 1 Quadratzentimeter" und man schreibt: 1 cm². Genauso meint man mit 1 m² den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 m oder mit 1 dm² den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 dm. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table article-table-selected" style="width: 500px;" ! scope="col"|

das sind zwei ganz unterschiedliche Angaben!!!

 * }

1 m², 1 dm², 1 cm² und 1 mm² sind sogenannte Flächeneinheiten. Man kann überall auf der Welt eine Fläche mit diesem Flächeninhalt herstellen, wenn man die Länge 1 m, 1 dm, 1 cm oder 1 mm kennt. Wir geben den Flächeninhalt einer Fläche in Vielfachen dieser Einheiten an.

Umrechnen zwischen Flächeneinheiten
Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 1m² kann mit kleineren Quadraten (Flächeninhalt 1dm²) ausgelegt werden. Dabei passen genau 10 dieser kleineren Quadrate nebeneinander und 10 übereinander. Wir können also ein Quadrat der Kantenlänge 1m mit genau $$10 \cdot 10 = 100 $$ kleineren Quadraten mit der Kantenlänge 1 dm auslegen. Es gilt also: 1 m² = 100 dm². Genauso gilt auch: 1 dm² = 100 cm², 1 cm² = 100 mm² oder auch 1 m² = $$100 \cdot 100 = 10000$$ cm². Bei Längen haben "benachbarte Einheiten" immer den Faktor 10, bei den Flächen die entsprechenden Einheiten immer den Faktor 100!

Berechnung des Flächeninhalts eines einfachen Quadrates
In ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 m passen genau 2 Quadrate mit der Seitenlänge 1 m nebeneinander und 2 Reihen davon übereinander. Insgesamt passen also genau 2 mal 2 = 4 solcher Einheitsquadrate in das Quadrat. Daher sagt man: "Der Flächeninhalt dieses Quadrates beträgt 4 m²".

=Flächeninhalt berechnen=

Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken
Der wichtigste Zusammenhang im Bereich der Flächenberechnung ist die Berechnung der Fläche eines Rechtecks. Man kann fast sagen, dass man mit dieser Formel alle anderen Flächen berechnen kann.

Wenn ein Rechteck Kantenlängen in ganzen cm hat (z.B. 3 oder 5 oder 9 cm), so kann man sich leicht vorstellen, wie groß der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist. Man kann nämlich in Gedanken die Fläche einfach mit cm²-Quadraten auslegen. Ist ein Rechteck beispielsweise 5 cm hoch und 7 cm breit, so kann man es mit 7 Quadraten nebeneinander und 5 solchen Reihen übereinander auslegen. Jede Reihe hat 7 Quadrate, also haben wir insgesamt $$5 \cdot 7 = 35 $$ Quadrate benutzt. Das Rechteck ist damit vollständig ausgelegt, so dass sein Flächeninhalt genau 35 cm² beträgt. Wir müssen also immer die Breite (in cm) mal die Höhe (in cm) multiplizieren und erhalten den Flächeninhalt (in cm²). Wir bezeichnen den Flächeninhalt mit dem Großbuchstaben A (englisch: area) und die Kantenlängen mit den Kleinbuchstaben a und b.

{| border = "1"

Fläche eines Rechtecks:
Formel: A = a $$\cdot$$ b Fläche = Seitenlänge a $$\cdot$$ Seitenlänge b
 * }

Ein Quadrat ist eigentlich nur ein Rechteck, dessen Seiten gleich lang sind. Daher sind bei der Flächenberechnung die Seitenlänge a und b gleich groß. Wir können also beide Male a schreiben: {| border = "1"

Fläche eines Quadrates:
Formel: A = a $$\cdot$$ a = a²
 * }

{| border = "1"

Tipps:
Erklärvideo: Flächeneinheiten und Berechnung bei Rechtecken
 * um nicht mit Dezimalbrüchen rechnen zu müssen, können die Seitenlängen zuerst in eine kleinere Einheit umgerechnet werden, z.B. 13,7 cm = 137 mm
 * Beide Seiten müssen bei der Rechnung immer die selbe Längeneinheit haben!
 * }

=komplexere Flächen= Manchmal hat man Flächen, die entweder aus mehreren Rechtecken bestehen oder aus einem Rechteck durch zerschneiden entstehen. Diese kann man mit der Formel für den Flächeninhalt von Rechtecken einfach berechnen.

Flächen aus mehreren Rechtecken
Wenn die Seiten einer Fläche nur rechte Winkel haben, so kann man sich die Fläche aus Rechtecken zusammengesetzt vorstellen. Dabei kann man entweder "fehlende" Rechtecke von einem anderen Rechteck abziehen (Beispiel a) oder man addiert verschiedene "Teilrechtecke" (Rechteck b).

Beispiel a: Ein Rechteck "fehlt"


Der Flächeninhalt des roten Rechtecks zusammen mit dem blauen Rechteck beträgt A=4 cm $$\cdot$$ 5 cm = 20 cm². Das blaue Rechteck alleine hat einen Flächeninhalt A=2 cm $$\cdot$$ 3 cm = 6 cm². Daher beträgt der Flächeninhalt des roten Rechtecks alleine: A = 20 cm² - 6 cm² = 14 cm².

Eine zweite Möglichkeit von "Ein Rechteck 'fehlt' " ist, wenn das fehlende Rechteck im Innern eines anderen Rechtecks liegt. Das nebenstehende Bild zeige ein Grundstück, das eine gepflasterte Fläche (blau) hat und ansonsten mit Rlasen (grün) bedeckt ist. Hier muss die Fläche des äußeren Rechtecks (hier: A=6 m $$\cdot$$ 5 m = 30 m²) und die Fläche des inneren Rechtecks (A= 3 m $$\cdot$$ 2 m = 6 m²) berechnet werden. Lautet die Frage also "wie groß ist der Flächeninhalt der Rasenfläche?", so berechnet man die Antwort mit A = 30 m² - 6 m² = 24 m².

Beispiel b: Ein "zerschnittenes Rechteck


Die Fläche beider Dreiecke zusammen ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 3 cm und 8 cm. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit beider Dreiecke zusammen) beträgt A = 3 cm $$\cdot$$ 8 cm = 24 cm². Da beide Dreiecke gleich groß sind beträgt der Flächeninhalt jeweils eines der beiden Dreiecke die Hälfte davon. Daher gilt für das rote und auch für das blaue Dreieck: A = 24 cm² : 2 = 12 cm²

Beispiel c: aus Rechtecken zusammengesetzte Fläche


Die bunte Fläche ist aus vier Rechtecken zusammengesetzt:

Für das rote Rechteck gilt: A = 2 cm $$\cdot$$ 2 cm = 4 cm²

Für das blaue Rechteck gilt: A= 2 cm $$\cdot$$ 3 cm = 6 cm²

Für das grüne Rechteck gilt: A = 3 cm $$\cdot$$ 2 cm = 6 cm ²

Für das violette Rechteck gilt: A = 5 cm $$\cdot$$ 2 cm = 10 cm²

Die Flächeninhalt der ganzen bunten Fläche beträgt also: A = 4 cm² + 6 cm² + 6 cm² + 10 cm² = 26 cm²

Umfang von Quadraten und Rechtecken
Der Umfang ist die Länge die man zeichnen muss, um einmal komplett um eine Fläche herum zu kommen. Bei Rechtecken ist das also die Summe ihrer 4 Seitenlängen. Da jeweils zwei Seitenlängen a und b gleich lang sind, ist der Umfang U = 2 $$\cdot$$ a + 2 $$\cdot$$ b = 2 $$\cdot$$ (a+b). Bei Quadraten ist die Berechnung noch einfacher, da die 4 Seiten gleich lang sind: U = 4 $$\cdot$$ a.

{| border = "1"

Umfang eines Rechtecks:
Formel: U = 2 $$\cdot$$ a + 2 $$\cdot$$ b = 2 $$\cdot$$ (a+b)
 * }

{| border = "1"

Umfang eines Quadrates:
Formel: U = 4 $$\cdot$$ a
 * }

Beispiele:


Ein Rechteck ist 14 cm breit und 5 cm hoch. Sein Umfang beträgt also U = 14 cm + 5 cm + 14 cm + 5 cm = 2 $$\cdot$$ 14 cm + 2 $$\cdot$$ 5 cm = 2 $$\cdot$$ (14 cm + 5 cm) = 38 cm

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 7 cm. Sein Umfang beträgt also U = 7 cm + 7 cm + 7 cm + 7 cm = 4 $$\cdot$$ 7 cm = 28 cm

Erklärvideo: Umfang