Teilbarkeit

=Teiler und Vielfache=

Wenn wir eine bestimmte Anzahl von Gegenständen in Reihen und Spalten so legen können, dass alle Gegenstände Platz finden und außerdem alle Spalten und Reihen voll werden, ist die Anzahl der Gegenstände das Produkt aus der Reihenzahl und der Spaltenzahl. Dann kann man die Anzahl durch die Reihenzahl und auch durch die Spaltenzahl teilen. Daher heißen die Anzahl der Reihen und die Anzahl der Spalten Teiler der Zahl.

Wenn wir die Anzahl der Gegenstände in eine bestimmte Anzahl von Reihen legen können, ist die Anzahl der Gegenstände durch die Anzahl der Reihen teilbar.

Wenn wir ausdrücken wollen, dass 5 ein Teiler der Zahl 20 ist, so schreiben wir kurz: $$ 5 \mid 20 $$. Da 7 kein Teiler von 20 ist, schreiben wir: $$ 7 \nmid 20 $$

Beispiel:

20 Kekse können in 5 Reihen zu je 4 Spalten gelegt werden. Also ist 20 durch 5 teilbar. 20 ist aber auch dirch 4 teilbar. 4 und 5 sind Teiler von 20.

Summenregel
Wenn alle Summanden einer Summe durch eine Zahl teilbar sind, so ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar. Ähnliches gilt auch für Differenzen: Wenn Minuend und Subtrahend einer Differenz durch eine Zahl teilbar sind, so ist auch die Differenz durch diese Zahl teilbar.

Beispiel:

21 ist durch 7 teilbar und 35 ist durch 7 teilbar. Dann ist auch 21+35, also 56 durch 7 teilbar.

81 ist durch 9 teilbar und 18 ist durch 9 teilbar. Dann ist auch 81-18, also 63 durch 9 teilbar.

=Quersumme=

Die Quersumme nennt man die Summer der einzelnen Ziffern einer Zahl. Die Zahl1725 hat die Ziffern 1, 7, 2 und 5. Die Quersumme der Zahl 1725 ist dann 1+7+2+5 = 15.

Diese Quersumme brauchen wir für die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 3 und 9 sowie indirekt für die 6.

=Teilbarkeitsregeln=

Oft ist es wichtig zu wissen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Man kann natürlich immer eine schriftliche Division durchführen. Wenn der Rest 0 erreicht wird, ist die Zahl durch die andere Zahl teilbar. Es geht aber meistens wesentlich schneller und einfacher. Für die Zahlen bis 10 gibt es einfache Teilbarkeitsregeln.

=größter gemeinsamer Teiler (ggT)=

Zwei Zahlen haben immer mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die 1. Alle Zahlen sind durch 1 teilbar. Oft haben zwei Zahlen aber noch größere gemeinsame Teiler. Den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist für viele Fragen wichtig. Wir schreiben folgendermaßen:

Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler der Zahl a und der Zahl b. Dann schreiben wir: ggT(a,b)

Beispiel:

Wie groß können Quadrate sein, die eine Fläche von 240 mal 130 cm komplett ausfüllen? Antwort: Die Quadrate können höchstens 10 mal 10 cm groß sein, denn ggT(240, 130) = 10.

Erklärvideo: größter gemeinsamer Teiler

=kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) =

Zwei Zahlen haben immer gemeinsame Vielfache. Das Produkt aus zwei Zahlen ist immer ein Vielfaches beider Zahlen. Oft gibt es aber kleinere Zahlen, die ebenfalls schon Vielfaches beider Zahlen sind. Die kleinste Zahl, die diese Eigenschaft hat, nennen wir kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) der Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache hat hohe Bedeutung in vielen Bereichen.

Beispiel: 

Zwei Buslinien fahren an einer Bushaltestelle. Die eine Linie fährt alle 14 Minuten, die andere 10 Minuten. Beide fahren gerade jetzt ab. Wann sind das nächste mal beide Linien gleichzeitig wieder da? Die Antwort ist das kgV(10,14)=70. Nach 70 Minuten sind also beide Linien wieder gleichzeitig an der Bushaltestelle. Die einfachste Möglichkeit, das kgV zu bestimmen, ist das ausprobieren. Man nimmt dabei die größere Zahl und bildet die Vielfachen dieser Zahl (hier also 14, 28, 42, 56, 70, ...). Die erste Zahl dieser Reihe, die auch Vielfaches von 10 ist, ist das kgV. Das ist hier die 70.

Erklärvideo: kleinstes gemeinsames Vielfaches

=Teilermenge= Die Teilermenge ist die Menge (Ansammlung) aller Teiler einer Zahl. Man findet zuverlässig alle Teiler einer Zahl n durch folgendes Verfahren: Zuerst schreibt man eine 1 hin, denn alle Zahlen sind durch 1 teilbar. 1 ist also der erste Teiler der Zahl. Dann schreibt man daneben die Zahl n selbst, denn $$ 1 \cdot n = n$$. Danach sucht man weitere Teiler. Man versucht es mit der 2. Wenn die Zahl n durch 2 teilbar ist (siehe Teilbarkeitsregeln), schreibt man in die nächste Zahl die 2 und das Ergebnis von n:2, denn beide sind sicher Teiler von n. Danach macht man mit 3, 4, 5 usw. weiter. Man muss dabei nur bis zu einer Zahl weiter machen, die mit sich selbst multipliziert mindestens so groß wie die Zahl n ist. Danach hat man alle Teiler dieser Zahl gefunden, indem man alle gefundenen Zahlen sammelt.

Beispiel:

Wir suchen alle Teiler der Zahl 100. Da $$ 10 \cdot 10 = 100 $$ müssen wir nur bis zur 10 suchen. Wir finden mit dem obigen Verfahren:

In der letzten Zeile schreiben wir nur eine 10, weil wir die Teiler nicht doppelt nennen wollen. Wir schreiben die Teilermenge nun so: T100={ 1,2,4,5,10,20,25,50,100 }

=Menge der Vielfachen= Ähnlich wie die Teilermenge schreiben wir auch die Menge der Vielfachen. Die Vielfachen sind aber nicht nach oben beschränkt. Die Vielfachen von 7 sind 7, 14, 21, 28, 35 und das geht immer so weiter. Darum hat diese Menge hinten drei Pünktchen, die aussagen sollen, dass es immer so weiter geht. Normalerweise geben wir etwa die ersten 5 Vielfachen an und schreiben dann Pünktchen.

 Beispiel: 

V7={7, 14, 21, 28, 35, ...}

V13={13, 26, 39, 52, 65, ...}

=Primzahlen= Alle Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind, heißen  Primzahlen . Ihre Teilermenge besteht nur aus der 1 und der Zahl selbst. Kleinere Teilermengen gibt es (außer bei der 1) nicht.

Die Primzahlen haben eine sehr große Bedeutung in der Mathematik der ganzen Zahlen. Sie sind sozusagen die Bausteine, aus denen alle Zahlen bestehen. Die ersten Primzahlen lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade.

Es gibt ein sehr anschauliches Verfahren, alle Primzahlen bis zu einer festgelegten Obergrenze zu finden: Das Sieb des Erathostenes.

Erklärvideo: Primzahlen