Brüche und Dezimalbrüche



=Grundlagen, auf die dieses Kapitel besonders aufbaut=

=Brüche kürzen und erweitern = Wenn man in einem Bruch den Zähler und den Nenner mit der selben Zahl multipliziert, verändert sich am Wert des Bruches nichts. Wir stellen uns vor, eine Torte wird in 12 Stücke geteilt. Jedes Stück ist dann genau $$ \frac{1}{12} $$ der Torte. Diesen Bruchteil färben wir jetzt blau. Nun teilen wir alle 12 Stücke der Torte wiederum in 3 teile. Wir haben nun 36 gleich große Teile, also Stücke, die jeweils $$ \frac{1}{36} $$ sind. Auch das blaue Stück ist in drei Teile geteilt worden, so dass wir nun drei blaue Stückchen haben. Der Anteil der blauen Stücke war also vorher $$ \frac{1}{12} $$ und ist nachher $$ \frac{3}{36} $$. Da wir aber nicht mehr oder weniger blaue Torte haben, gilt: $$ \frac{1}{12}=\frac{3}{36} $$. Genauso kann man - wenn Zähler und Nenner beide durch die gleiche Zahl geteilt werden können (gemeinsamer Teiler) - beide durch diese Zahl teilen, ohne dass sich der Wert des Bruches verändert. Beispiel: $$ \frac{4}{36}=\frac{1}{9} $$.
 * Teiler und Vielfache
 * Teilbarkeitsregeln
 * ggT (Erklärvideo)
 * kgV (Erklärvideo)
 * Primzahlen (Erklärvideo)

Erklärvideos: Erweitern, Kürzen

=Brüche vergleichen und ordnen = Brüche kann man genauso wie natürliche und auch ganze Zahlen auf einem Zahlenstrahl anordnen. Zahlen, die weiter links stehen sind dann kleiner als Zahlen, die weiter rechts stehen. Mit natürlichen Zahlen kann man nur in festen Abständen Zahlen anordnen. Zwischenschritte gibt es nicht. Mit Brüchen kann man nun diese Bereiche zwischen den natürlichen Zahlen füllen: Zwischen 0 und 1 liegt beispielweise $$ \frac{1}{2} $$. Aber zwischen 0 und $$ \frac{1}{2} $$ liegen wiederum viele Bruchzahlen, z.B. $$ \frac{1}{4} $$ oder auch $$ \frac{1}{3} $$ und noch viele andere Brüche. Manche verschiedenen Brüche haben aber auch den gleichen Wert, sind also gleich. So ist $$ \frac{2}{4} $$ das selbe wie $$ \frac{1}{2} $$. Man kann also mit den Zeichen <, > und = Beziehungen zwischen Brüchen darstellen.

Beispiele: $$ \frac{1}{36} < \frac{1}{40} $$  $$ \frac{2}{49} > \frac{3}{98} $$ $$ \frac{1}{36} = \frac{2}{72} $$ Erklärvideos: Brüche und Dezimalzahlen ordnen, Brüche auf dem Zahlenstrahl

gemischte Brüche
Brüche haben normalerweise im Zähler und im Nenner natürliche Zahlen. Steht eine 1 im Zähler, so ist der gesamte Bruch niemals größer als 1. Bei beliebigen Zahlen im Zähler und im Nenner, kann der Zähler auch größer als der Nenner sein (z.B. $$\frac{6}{5}$$). Dann kann man den Bruch auch als gemischten Bruch schreiben, in dem man die ganzen Zahlen herauszieht und den Restbruch dahinter schreibt:$$\frac{6}{5}=1\frac{1}{6}$$. Die ganze Zahl und der dahinterstehende Restbruch müssen also addiert werden, um den Wert des Bruches zu erhalten.

Erklärvideo: Gemischte und unechte Brüche

Brüche gleichnamig machen
Wenn man Brüche addieren, subtrahieren oder vergleichen will, muss der Nenner gleich sein. Man kann nicht direkt Brüche addieren, subtrahieren oder vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben.

Brüche mit unterschiedlichem Nenner kann man mit dem selben Nenner schreiben (also gleichnamig machen ), indem man sie geschickt erweitert. Dazu wird zunächst der Hauptnenner gesucht und dann beide Brüche so erweitert, dass sie als Nenner den Hauptnenner haben.

Erklärvideo: Brüche vergleichen, indem man sie gleichnamig macht

Hauptnenner
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der beiden Brüche. Er ist der kleinste Nenner, auf den man beide Brüche erweitern kann.

Beispiel:

$$ \frac{3}{16} + \frac{5}{24} = \frac{9}{48} + \frac{10}{48} = \frac{19}{48} $$

kgV (16, 24) = 48

Erklärvideo: [http://www.youtube.com/watch?v=cd4gW24OqWE: Brüche vergleichen - Hauptnenner bzw. kgV]

=Dezimalbrüche= Wir begegnen Dezimalbrüchen im Alltag als Kommazahlen. Dezimalbrüche sind normale Brüche in einer anderen Schreibweise. Es können aber nur Brüche als Dezimalbrüche dargestellt werden, die im Nenner eine Zehnerzahl (10, 100, 1000, ...) haben. Bei der Schreibweise als Dezimalbruch errweitern wir die Stellenwerttafel. Stehen vor dem Komma die gewohnten Stellenwerte (von rechts nach links) Einer (E), Hunderter (H), Tausender (T), Zehntausender (ZT), Hunderttausender (HT), ..., so stehen rechts vom Komma Zehnerbrüche (in der Stellenwerttafel klein geschrieben):

Zehntel (z), Hunderstel (h), Tausendstel (t), Zehntausendstel (zt), Hunderttausendstel (ht) ,... . Damit sieht die Stellenwerttafel mit Beispielzahlen so aus:

Zehnerbrüche
Als Zehnerbrüche bezeichnen wir Brüche mit einer Zehnerzahl (10, 100, 1000, ...) im Nenner, also z.B. $$ \frac{23}{100}, \frac{356}{10000} oder \frac{32675}{10000000} $$

Umwandeln eines Zehnerbruchs in einen Dezimalbruch
Wie im Stellenwertsystem der natürlichen Zahlen gibt auch bei Dezimalzahlen die Stelle, an der eine Ziffer geschrieben wird an, wieviel ihr Wert ist. Die zweite Stelle hinter dem Komma gibt Hundertstel an, die dritte Tausendstel, die Vierte Zehntausendstel usw. Da das Stellenwertsystem genauso funktioniert wie bei natürlichen Zahlen, kann man nun den Zähler einfach so aufschreiben, dass seine Einer an der Stelle des Nenners stehen. Beispiel:

Umwandeln eines normalen Bruches in einen Dezimalbruch
Man kann normale Brüche immer in Dezimalbrüche umwandeln. Da normale Brüche und Dezimalbrüche nur andere Schreibweisen eines Bruches sind, kann man sie ineinander umwandeln Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.

Erklärvideo: Umwandeln Bruch zu Dezimalbruch

erste Möglichkeit: Umwandeln in einen Zehnerbruch
Die eine Möglichkeit ist auszunutzen, dass man Zehnerbrüche einfach als Dezimalbruch (Kommazahl) darstellen kann. Dafür muss man andere Brüche erst zu einem Zehnerbruch machen. Viele Brüche kann man durch erweitern zu Zehnerbrüche machen. Beispiel: $$ \frac{3}{4} = \frac {75}{100} = 0,75$$

Die erste Möglichkeit, normale Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln, ist also die Erweiterung zu einem Zehnerbruch. Es können aber nicht alle Brüche in Zehnerbrüche umgewandelt werden. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit: die schriftliche Division.

zweite Möglichkeit: Umwandeln durch schriftliche Division
Man kann bei der schriftlichen Division hinter der Einerstelle noch beliebig viele Nullen "herunterholen". Man muss nur daran denken, dass man beim ersten herunter holen einer Null hinter der Zahl bei der Lösung ein Komma schreibt. Beispiel (siehe rechts): 

Beim Umwandeln von normalen Brüchen und Dezimalbrüche kann es nun drei Möglichkeiten geben: Der Bruch kann abbrechen (wie bei 0,25), er kann gemischtperiodisch sein (ab irgendeiner Stelle wiederholen sich die Nachkommastellen) oder auch reinperiodisch (direkt nach dem Komma kommen sich wiederholende Ziffern)

abbrechende Brüche
 Beispiel

$$ \frac {1}{40} = \frac{25}{1000} = 0,025 $$

Der Dezimalbruch hat eine bestimmte (endliche) Anzahl von Stellen hinter dem Komma. Bei der schriftlichen Division wird irgendwann der Rest 0 erreicht.



reinperiodische Brüche
Beispiel 

$$ \frac{1}{3} = 0,3333333... = 0,\overline3$$

Bei der schriftlichen Division $$1 : 3 $$ wird direkt nach dem ersten Schritt, der die drei hinter dem Komma ergibt, wieder der Rest 1 erreicht. Damit wiederholt sich immer die gleiche Rechnung. Wir schreiben diese Dezimalbrüche mit einem Strich über der sich wiederholenden Zahl (oder Zahlenfolge). Wir sprechen dann wie im Beispiel "Drei Komma Periode drei".

gemischtperiodische Brüche


Jeder Dezimalbruch ist entweder abbrechend, reinperiodisch oder gemischtperiodisch. Das liegt daran, dass bei der schriftlichen Division immer irgendwann ein Rest kommen muss, der schon da war und sich die Rechnung damit ab dieser Stelle wiederholen muss. Wenn der Rest 0 ist, bricht der Bruch ab, wenn sofort der selbe Rest bleibt wie beim ersten durchgang ist der Dezimalbruch reinperiodisch und wenn sich nach einigen Stellen eine Abfolge von Resten wiederholt ist der Dezimalbruch gemischtperiodisch. Im handschriftlichen Beispiel sprechen wir: "Null Komma Null Acht Periode Drei". Das, was wir hinter dem Wort "Periode" sagen, ist der sich wiederholende Teil.

Hinweis:  Ob ein Dezimalbruch abbricht, reinperiodisch oder gemischtperiodisch ist, liegt an der Primfaktorzerlegung des Nenners:
 * besteht der Nenner des gekürzten Bruchs nur aus zweien und fünfen, so bricht der Dezimalbruch ab
 * besteht er nur aus Faktoren, die nicht 2 und 5 heißen, ist er reinperiodisch
 * besteht er aus zweien und/oder fünfen und außerdem aus anderen Faktoren, so ist er gemischtperiodisch.

=Prozentschreibweise= Wird in einer Angabe beispielsweise 37% für das Wahlergebnis einer Partei angegeben, so drückt das Prozentzeichen nichts anderes als einen Bruch aus. Prozentangaben sind also auch nur Brüche in einer anderen Schreibweise. Dabei steht das %-Zeichen für Hundertstel. Die Partei hat also $$ \frac{37}{100} $$ aller Wählerstimmen bekommen. Will man die genaue Stimmenzahl wissen, so muss man die gesamte Wählerstimmenzahl kennen und kann mit der Prozentangabe die Stimmenzahl der Partei ermitteln.

Beispiel:

Die Partei hat 37% der Stimmen bekommen und es gab 300000 Stimmen. Wir ermitteln nun $$ \frac {37}{100} $$ von 300000, also $$ 300000 \cdot \frac{37}{100} = (300 000 : 100) \cdot 37 = 3000 \cdot 37 = 111000 $$.

Die Partei hatte also 111000 der 300000 Wählerstimmen bekommen.

=Runden von Dezimalbrüchen= Dezimalbrüche rundet man eigentlich genauso wie natürliche Zahlen, nur dass wir hier Dezimalstellen hinter dem Komma beachten müssen. Wenn wir also beispielsweise auf die zweite hinter dem Komma (Hundertstel) runden wollen, so müssen wir die nächstkleinere Stelle (dritte Stelle hinter dem Komma, also Tausendstel) betrachten. Wenn sie 0,1,2,3, oder 4 lautet, so wird abgerundet. Wenn die nächstkleinere Stelle 5,6,7,8 oder 9 lautet wird aufgerundet, also die Hundertstelstelle um eins erhöht.

= Die Bedeutung der Primfaktorzerlegung = Die Primfaktorzerlegung ist von besonderer Bedeutung beim Kürzen und beim Gleichnamigmachen. Die Primfaktorzerlegung gibt einduetig an, aus welchen Primzahlen eine Zahl zusammengesetzt ist. Primfaktoren können mehrfach vorkommen. Sie werden der Größe nach sortiert, so dass der kleinste Primfakltor vorne steht: $$ 35 = 5 \cdot 7$$

$$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$

Kürzen
Da man gemeinsame (Prim-) Faktoren kürzen kann, können bei einem Bruch alle Primfaktoren gekürzt werden, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommen. Man kann also das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren kürzen (das ist der ggT!).

Beispiel

$$ \frac{80}{210} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac {8}{21} $$

Beim Kürzen werden alle gemeinsamen Primfaktoren von Zähler und Nenner weggekürzt.

Gleichnamig machen
Um zwei Brüche zu addieren, müssen sie zunächst geichnamig gemacht werden. Dafür muss das kgV der beiden Nenner gesucht werden und beide Brüche auf diesen Nenner erweitert werden. $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac {5}{20} + \frac{2}{20} = \frac{7}{20}$$

Auch ist die Primfaktorzerlegung - hier der beiden Nenner - von Bedeutung. Die Nenner müssen so erweitert werden, dass alle Primfaktoren beider Nenner mindestens so oft vorkommen, wie in den einzelnen Nennern. Man multipliziert also alle Primfaktoren, die im anderen Nenner häufiger (oder überhaupt) vorkommen.

Beispiel

$$4 = 2 \cdot 2 $$

$$10 = 2 \cdot 5 $$

Der 4 "fehlt" die 5, der 10 "fehlt" die zweite 2, also

$$ \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac {7}{20} $$ = Ausblick =

Addition von normalen Brüchen
Normale Brüche können nur dann addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben, also gleichnamig sind. Dies kann durch Erweitern immer erreicht werden. Am geschicktesten wird auf den Hauptnenner (also den kgV der beiden Nenner) erweitert. Wenn zwei Brüche den gleichen nenner haben, werden die Zähler addiert und der Nenner beibehalten. Anschließend kann gekürzt oder als gemischter Bruch geschrieben werden, wenn das möglich ist. Beispiele:

$$ \frac{3}{8} + \frac{7}{32} = \frac{12}{32} + \frac{7}{32} = \frac{19}{32} $$

$$ \frac{2}{7} + \frac{3}{4} = \frac{8}{28} + \frac{21}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{29}$$

$$ \frac{7}{8} + \frac{5}{6} = \frac{21}{24} + \frac{20}{24} = \frac{41}{24} $$

Multiplikation von normalen Brüchen mit ganzen Zahlen
Brüche werden mit ganzen Zahlen multipliziert, indem der Zähler mit der Zahl multipliziert wird und der Nenner bleibt. Beispiele:

$$ 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$$

$$ 5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$

Addition von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche (Kommazahlen) werden genauso addiert wie natürliche Zahlen. Man schreibt sie also stellengerecht untereinander und addiert von rechts nach links, wobei Überträge beachtet werden müssen. Das Komma bleibt dann an seiner Stelle.

Subtraktion von Dezimalbrüchen
Auch die Subtraktion von Dezimalbrüchen findet genauso wie bei den natürlichen Zahlen statt. Man schreibt die Zahlen stellengerecht untereinander und schreibt unter die Linie, wieviele es jeweils von der unteren zur oberen Zahl (bzw. zehn mehr) sind. Wenn es zu einem Übertrag kommt, muss dieser beachtet werden. Bei mehreren Minuenden müssen die Minuenden zuerst addiert werden und dann zusammen vom Subtrahenden subtrahiert werden.

Multiplikation von Dezimalbrüchen mit ganzen Zahlen
Die Multiplikation wird auch genauso durchgeführt wie bei den natürlichen Zahlen. Lediglich die Position des Kommas muss zusätzlich beachtet werden. Es beibt an der gegebenen Stelle und wird beim Produkt ebenfalls aufgeschrieben.